\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
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\usepackage[a4paper,landscape]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
 
\newcommand\titre[1]{{\large\bfseries\uuline{#1}}\\} 
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\newtheorem{exo}[theorem]{Exercice}


\geometry{margin={1cm,2cm}}
\pagestyle{fancy}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
 
\begin{document}
\noindent

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion

\setcounter{theorem}{112}

\begin{multicols}{2}%

\label{semaine 1}

\titre{Semaine du 9 Novembre au 15 Novembre}

\vspace{-15pt}
\begin{exo}[Fonctions usuelles]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $A = \sqrt{4x^2 - 4x +1}$.
\item $B = \exp\left( - \dfrac{1}{3} \ln(e^{-3}) \right)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[\'Equations]
Résoudre les équations suivantes :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $x^2 - 5x  - 6 = 0$
\item $-2x^2 +2x +1 = 0$
\item $ x^3 -2x^2 +2x = 0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to - \infty} \dfrac{x\left(1-\dfrac{2}{x}+ \dfrac{1}{x^2}\right)}{\left(1-\dfrac{1}{x}\right)} $.
\item $\lim\limits_{x \tos 1}  \dfrac{x-2}{\ln(x)} $.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Dérivées]
Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = xe^{x} $.
\item $g(x) = 2^x$.
\item $h(x) = \dfrac{1-e^x}{1+e^x}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
Résoudre les inéquations suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $e^{2x} - 9 \geq 0$.
\item $\dfrac{(2x+1)^2 - 4}{x^2 - 4x} < 0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Récurrence]\hspace{-11pt}
$A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$. Montrer $A^n = \begin{pmatrix}
1 & n & \dfrac{n(n+3)}{2} \\
0 & 1 & n \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$ 
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes ]
Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \sum_{k=2}^n k^2$.
\item $\displaystyle \sum_{k=6}^{12} k$.
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{2^k}{3^{k+1}}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

%\begin{exo}[Dénombrement]
%Donner le résultat des problèmes suivant :
%\begin{enumerate}
%\item Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot ANAGRAMME ?
%\item De combien de façon possible peut on répartir 8 enfants sur un tourniquet ?
%\end{enumerate}
%\end{exo}
%
%\begin{exo}[Dénombrement]
%Donner le résultat des problèmes suivant :
%\def\columnseprulecolor{\color{white}}
%\begin{enumerate}
%\item Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot ECS ?
%\item De combien de façon possible peut on répartir 8 enfants sur un banc ?
%\end{enumerate}
%\end{exo}

\label{semaine 2}

\titre{Semaine du 16 Novembre au 22 Novembre}

\begin{exo}[\'Equations]
Résoudre les équations suivantes :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^2 + x - 2 = 0$
\item $ \left(\ln{x}\right)^2 + \ln(x) -2 = 0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to + \infty} \dfrac{\left(1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2x^2}\right)}{2x\left(1 + \dfrac{1}{x^3} \right)} $.
\item $\lim\limits_{x \to + \infty}  \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} $.
\item $\li_{x \to + \infty}\dfrac{1 + e^{-2x}}{3 - e^{-2x}} $
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Dérivées]
Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} $.
\item $g(x) = \ln{\left( \sqrt{1+x^2} \right)}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
Résoudre les inéquations suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $e^{2x} -e^x\geq 0$.
\item $\dfrac{x}{1-x^2} < 0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer par récurrence que pour tout $n \geq 3$
$$
\sum_{k=3}^n \ln \left( \dfrac{k+2}{k+1} \right) = \ln \left( \dfrac{n+2}{4} \right)
$$
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes ]
Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} k^2$.
\item $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+2} (k-2)^2$.
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} 2^k 3^{n-k}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Probabilité]
On tire trois cartes successivement et avec remise dans un paquet de 32 cartes.On note $A$ l'évènement "n'obtenir que des coeurs", $B$ l'évènement "n'obtenir que des as" et $C$ l'évènement "Obtenir deux coeurs et un pique". Donnez $P(A)$, $P(B)$ et $P(C)$ sous forme de fraction irréductible.
\end{exo}


%\begin{exo}[Fonctions usuelles]
%Simplifier au maximum les expressions suivantes.
%\def\columnseprulecolor{\color{white}}
%\begin{multicols}{1}
%\begin{enumerate}
%\item $A = \ln{}(\sqrt{x}) - \ln{(x^2)}$.
%\item $B = \dfrac{e^{2x}}{(e^x + e^{-x})^2} + \dfrac{2 + e^{-2x}}{(e^x + e^{-x})^2}$.
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
%\end{exo}


\newpage
\label{semaine 3}
\titre{Semaine du 23 Novembre au 29 Novembre : Calcul de limites (FI)}

\begin{exo}[Composée de limite]
Calculez les limites suivantes
\begin{qmulti}{3}
\item $\li_{x \to + \infty} \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^2}}$
\item $ \li_{x \tos 2} -2\ln(x-2)$
\item $ \li_{x \to - \infty} e^{\frac{1}{x^2}}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Croissance comparée]
Calculez les limites suivantes
\begin{qmulti}{3}
\item $\li_{x \to + \infty} \dfrac{e^{3x}}{x^3}$
\item $ \li_{x \tos 0} x^6\ln(x)$
\item $ \li_{x \to -\infty} x^2 e^{x}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Croissance comparée]
Calculez les limites suivantes
\begin{qmulti}{3}
\item $\li_{x \to + \infty} \dfrac{e^{x^3}}{3x^6}$
\item $ \li_{x \to + \infty} \dfrac{1 + x^2}{e^x}$
\item $ \li_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x}}{\ln(x)}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Indétermination(1)]
Donner les limites suivantes
{\small
\begin{qmulti}{3}
\item $\li_{x \to - \infty} -x^4 + x^2 -2x$
\item $\li_{x \to + \infty} e^x - x+ \ln(x)$
\item $\li_{x \to - \infty} \sqrt{x^4 -2} - x^2 $
\end{qmulti}}
\end{exo}

\begin{exo}[Indétermination(2)]
Donner les limites suivantes
\begin{qmulti}{3}
\item $\li_{x \to - \infty} x^2e^x$
\item $\li_{x \to + \infty} (x^4+1) e^{-\sqrt{x}} $
\item $\li_{x \to + \infty} x \ln{\left(1 + \dfrac{1}{x} \right)}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Indétermination(3)]
Donner les limites suivantes
\begin{qmulti}{3}
\item $\li_{x \to - \infty} \dfrac{x^2 - 4x}{3x^3 + 2} $
\item $\li_{x \to + \infty} \dfrac{x^2 +1}{\ln(x) - 1}$
\item $\li_{x \to + \infty} \dfrac{e^{x} + e^{-x}}{x^2 - \ln(x)}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Indétermination(4)]
Donner les limites suivantes
\begin{qmulti}{3}
\item $\li_{x \tos 1} \dfrac{x^2 - 2x +1}{(x -1)^3} $
\item $\li_{x \to 1} \dfrac{\ln{x}}{x-1}$
\item $\li_{x \to 4} \dfrac{x - 4\sqrt{x} + 4 }{2 - \sqrt{x}}$
\end{qmulti}
\end{exo}


\vspace{60pt}
\label{semaine 4}
\titre{Semaine du 30 Novembre au 6 Décembre}

\begin{exo}[\'Equations du second et du troisième degré]
Résoudre les équations suivantes :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $e^{2x^2} - 3 = 0$
\item $x^4 - 1 = 0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Dérivées]
Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = \sqrt{\dfrac{3x+2}{-2x +5}} $.
\item $g(x) = \dfrac{1}{\ln{(x-2)}}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
Résoudre les inéquations suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $2x^2 - 3x + 2 < 0$.
\item $2x^2 < 5x - 2$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Récurrence]
Soit $x \in \R$. On considère la suite $(u_n)_{n \in \N^*}$ définie par $u_0=1$ et  $u_{n+1} = u_n + x^{n+1}$. Montrer par récurrence que 
$$
\forall n \in \N, \quad  u_n = \dfrac{1 - x^{n+1}}{1 - x} 
$$
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes ]
Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} e^{k+1}$.
\item $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} (n-k)$.
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-1)^k 2^{n-k}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Probabilité]
On note $A$ l'évènement "n'obtenir que des coeurs", $B$ l'évènement "n'obtenir que des as" et $C$ l'évènement "Obtenir deux coeurs et un pique". Donnez $P(A)$, $P(B)$ et $P(C)$ sous forme de fraction irréductible.
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to + \infty}  \dfrac{x^2+3x -1}{x -1} $.
\item $\li_{x \to 0}\dfrac{x \ln(x)}{e^x} $
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}


\newpage
\label{Semaine 5}
\titre{Semaine du 7 Décembre  au 13 Décembre : Systèmes et matrices}


\begin{exo}
Résoudre le système suivant 
$\begin{cases}
-2x -3 y + 3z = 1\\
x+2y-z=0\\
x+y-2z=2
\end{cases}$
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre le système suivant 
$\left\{
\begin{array}{rcl}
y - z&=&1\\
2x + y + 2z &= &3 \\
x + z & = &1
\end{array} \right.$
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre le système suivant 
$\left\{
\begin{array}{rcl}
x+y+z+t&=&0\\
x-y-z &= &0 \\
y + z - t & = &0 \\
x - z + t & = &0
\end{array} \right.$
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre le système suivant pour $a,b, c$ des réels donnés 
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x + y + z &=&a\\
x - y - z &= &b \\
-3x + y + 3z & = &c
\end{array} \right.$$
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que la matrice $A = \begin{pmatrix}
3 & -2 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$ n'est pas inversible. 
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que la matrice $C = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 1 
\end{pmatrix}$ est inversible et donner son inverse. 
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles le système suivant est de Cramer, puis les résoudre en distinguant tous les cas. 
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
(1-\lambda)x - y + 2z&=&0\\
x - (1+\lambda)y + 2z &= &0 \\
x - y + (2- \lambda) z & = &0
\end{array} \right.$$

\end{exo}


\label{Semaine 6}
% Semaine 6
\titre{Semaine du 14 Décembre au 20 Décembre}

\begin{exo}[Dérivées]
Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = \dfrac{1}{\ln{x}} $.
\item $g(x) =\ln{(x^2 + 2x - 3)}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
Résoudre les inéquations suivantes.
\begin{qmulti}{2}
\item $\dfrac{(x-1)^2(x+1)}{x+4} \geq 0$.
\item $\dfrac{x^2-4}{x^2-1} > 0$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Récurrence]
Démontrer que pour tout entier $n\geq 2$, 
$$5^n \geq 4^n + 3^n .$$
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes ]
Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{e^{3k+1}}$.
\item $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} 2^k 3^{n-k}$.
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{n+3} k+1$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Probabilité]
On effectue des tirages avec remise dans une urne contenant 6 boules rouges et 4 boules vertes. On
extrait 3 boules. Quelle est la probabilité que l'on obtienne 5 boules vertes ?
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1+x+x^3}{2^x} $.
\item $\lim\limits_{x \to + \infty}  \dfrac{x-1}{x^3 - x^2 -x +1} $.
\item $\li_{x \to + \infty} x^{1/x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Système]
Résoudre le système suivant 
$\left\{
\begin{array}{rcl}
2x + 3y + z&=&4\\
-x + y + 2z &= &3 \\
7x + 3y - 5z & = &2
\end{array} \right.$
\end{exo}


%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{document}
